Загрузка...Чему равен угол в правильном восьмиугольнике
Восьмиугольник, виды, свойства и формулы
Восьмиугольник, виды, свойства и формулы.
Восьмиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно восьми.
Восьмиугольник, выпуклый и невыпуклый восьмиугольник:
Восьмиугольник – это многоугольник с восемью углами.
Восьмиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно восьми.
Восьмиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.
Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.
Соответственно выпуклый восьмиугольник – это восьмиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Рис. 1. Выпуклый восьмиугольник
Рис. 2. Невыпуклый восьмиугольник
Сумма внутренних углов любого выпуклого восьмиугольника равна 1080°.
Правильный восьмиугольник (понятие и определение):
Правильный восьмиугольник (октагон) – это правильный многоугольник с восемью сторонами.
В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.
Правильный восьмиугольник – это восьмиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 135°.
Рис. 3. Правильный восьмиугольник
Правильный восьмиугольник имеет 8 сторон, 8 углов и 8 вершин.
Углы правильного восьмиугольника образуют восемь равнобедренных треугольников .
Правильный восьмиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки: проведя к сторонам квадрата серединные перпендикуляры и соединив точки их пересечения с описанной окружностью квадрата с его сторонами.
Свойства правильного восьмиугольника:
1. Все стороны правильного восьмиугольника равны между собой.
2. Все углы равны между собой и составляют 135°.
Рис. 4. Правильный восьмиугольник
3. Сумма внутренних углов любого правильного восьмиугольника равна 1035°.
4. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного восьмиугольника O.
Рис. 5. Правильный восьмиугольник
5. Количество диагоналей правильного восьмиугольника равно 20.
Рис. 6. Правильный восьмиугольник
6. Центр вписанной окружности O1 совпадает с центром описанной окружности O2, что и образуют центр многоугольника O.
Рис. 7. Правильный восьмиугольник
Формулы правильного восьмиугольника:
Пусть a – сторона восьмиугольника, r – радиус окружности, вписанной в восьмиугольник, R – радиус описанной окружности восьмиугольника, k – константа восьмиугольника, P – периметр восьмиугольника, S – площадь восьмиугольника.
Формула константы правильного восьмиугольника:
Формула периметра правильного восьмиугольника:
Формулы площади правильного восьмиугольника:
Формулы радиуса окружности, вписанной в правильный восьмиугольник:
Формулы радиуса окружности, описанной вокруг правильного восьмиугольника:
Формулы стороны правильного восьмиугольника:
Правильный восьмиугольник в природе, технике и культуре:
В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах (в том числе в России), а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного правильного восьмиугольника.
Форма правильного восьмиугольника часто используются в изобразительном искусстве, архитектуре. Например, Собор Святого Георгия (Аддис-Абеба, Эфиопия), Купол Скалы (Иерусалим, Израиль), башня Ветров (Афины, Греция), Сан-Витале (в городе Равенна, Италия), Замок Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), Флорентийский баптистерий (Флоренция, Италия), Ахенский собор (Ахен, Германия), Капелла Карла Великого (Ахен, Германия).
Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com
- ← Теплопроводные полимерные композиты
- Многофункциональный робот РТС «РОИН» Р-070 →
Справочники
Мировая экономика
Востребованные технологии
- Концепция инновационного развития общественного производства – осуществления Второй индустриализации России на период 2017-2022 гг. (106 326)
- Экономика Второй индустриализации России (102 272)
- Программа искусственного интеллекта ЭЛИС (26 660)
- Метан, получение, свойства, химические реакции (22 692)
- Этилен (этен), получение, свойства, химические реакции (21 309)
- Природный газ, свойства, химический состав, добыча и применение (20 163)
- Крахмал, свойства, получение и применение (19 791)
- Целлюлоза, свойства, получение и применение (18 417)
- Прямоугольный треугольник, свойства, признаки и формулы (18 013)
- Пропилен (пропен), получение, свойства, химические реакции (17 924)
Поиск технологий
О чём данный сайт?
Настоящий сайт посвящен авторским научным разработкам в области экономики и научной идее осуществления Второй индустриализации России.
Он включает в себя:
– экономику Второй индустриализации России,
– теорию, методологию и инструментарий инновационного развития – осуществления Второй индустриализации России,
– организационный механизм осуществления Второй индустриализации России,
– справочник прорывных технологий.
Мы не продаем товары, технологии и пр. производителей и изобретателей! Необходимо обращаться к ним напрямую!
Мы проводим переговоры с производителями и изобретателями отечественных прорывных технологий и даем рекомендации по их использованию.
О Второй индустриализации
Осуществление Второй индустриализации России базируется на качественно новой научной основе (теории, методологии и инструментарии), разработанной авторами сайта.
Конечным результатом Второй индустриализации России является повышение благосостояния каждого члена общества: рядового человека, предприятия и государства.
Вторая индустриализация России есть совокупность научно-технических и иных инновационных идей, проектов и разработок, имеющих возможность быть широко реализованными в практике хозяйственной деятельности в короткие сроки (3-5 лет), которые обеспечат качественно новое прогрессивное развитие общества в предстоящие 50-75 лет.
Та из стран, которая первой осуществит этот комплексный прорыв – Россия, станет лидером в мировом сообществе и останется недосягаемой для других стран на века.
Восьмиугольник, виды, свойства и формулы
Формулы расчёта параметров правильного восьмиугольника
- t — длина стороны восьмиугольника
- r — радиус вписанной окружности
- R — радиус описанной окружности
- S — площадь восьмиугольника
- k — константа, равная (1+2)
>)> ≈ 2,414213562373095
Так как правильный восьмиугольник можно получить соответствующим отсечением углов квадрата со стороной kt
Радиус вписанной окружности правильного восьмиугольника:
Радиус описанной окружности правильного восьмиугольника:
Площадь правильного восьмиугольника:
Через сторону восьмиугольника
Через радиус описанной окружности
Через апофему (высоту)
Правильный восьмиугольник (понятие и определение):
Правильный восьмиугольник (октагон) – это правильный многоугольник с восемью сторонами.
В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.
Правильный восьмиугольник – это восьмиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 135°.
Рис. 3. Правильный восьмиугольник
Правильный восьмиугольник имеет 8 сторон, 8 углов и 8 вершин.
Углы правильного восьмиугольника образуют восемь равнобедренных треугольников.
Правильный восьмиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки: проведя к сторонам квадрата серединные перпендикуляры и соединив точки их пересечения с описанной окружностью квадрата с его сторонами.
Литература
- Pierre Wantzel. Recherches sur les moyens de Reconnaître si un Problème de géométrie peau se résoudre avec la règle et le compas // Journal de Mathématiques. — 1837. — С. 366–372.
- W. W. Rose Ball, H. S. M.Coxeter. Mathematical recreations and Essays. — Thirteenth edition. — New York: The MacMillan company, 1947. — С. 141.
Перевод: Математические эссе и развлечения / перевод Н.И. Плужниковой, А.С.Попова, Г.М. Цукерман, под редакцией И.М.Яглома. — Москва: «Мир», 1986. — С. 156.
Применение восьмиугольников
Дорожный знак «Движение без остановки запрещено»
Восьмиугольный план Купола Скалы
В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах (в том числе в России), а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного восьмиугольника.
Восьмиугольные формы часто используются в архитектуре. Купол Скалы имеет восьмиугольный план. Башня Ветров в Афинах — ещё один пример восьмиугольной структуры. Восьмиугольный план встречается также в архитектуре церквей, таких как Собор Святого Георгия (Аддис-Абеба), Сан-Витале (в городе Равенна, Италия), Замок Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), Флорентийский баптистерий и . Центральное пространство в Ахенский собор, Капелла Карла Великого имеют планы в виде правильного восьмиугольника.
Построение
Точное построение
Проводим большую окружность k₁ (будущую описанную окружность семнадцатиугольника) с центром O.
Проводим её диаметр AB.
Строим к нему перпендикуляр m, пересекающий k₁ в точках C и D.
Отмечаем точку E — середину DO.
Посередине EO отмечаем точку F и проводим отрезок FA.
Строим биссектрису w₁ угла ∠OFA.
Строим w₂ — биссектрису угла между m и w₁, которая пересекает AB в точке G.
Проводим s — перпендикуляр к w₂ из точки F.
Строим w₃ — биссектрису угла между s и w₂. Она пересекает AB в точке H.
Строим окружность Фалеса (k₂) на диаметре HA. Она пересекается с CD в точках J и K.
Проводим окружность k₃ с центром G через точки J и K. Она пересекается с AB в точках L и N
Здесь важно не перепутать N с M, они расположены очень близко.
Строим касательную к k₃ через N.
Точки пересечения этой касательной с исходной окружностью k₁ — это точки P₃ и P₁₄ искомого семнадцатиугольника. Если принять середину получившейся дуги за P₀ и отложить дугу P₀P₁₄ по окружности три раза, все вершины семнадцатиугольника будут построены.
Примерное построение
Следующее построение хоть и приблизительно, но гораздо более удобно.
- Ставим на плоскости точку M, строим вокруг неё окружность k и проводим её диаметр AB;
- Делим пополам радиус AM три раза по очереди по направлению к центру (точки C, D и E).
- Делим пополам отрезок EB (точка F).
- строим перпендикуляр к AB в точке F.
Вкратце: строим перпендикуляр к диаметру на расстоянии 9/16 диаметра от B.
Точки пересечения последнего перпендикуляра с окружностью являются хорошим приближением для точек P₃ и P₁₄.
При этом построении получается относительная ошибка в 0,83%. Углы и стороны получаются таким образом немного больше, чем нужно. При радиусе 332,4 мм сторона получается длиннее на 1 мм.
Признаки и свойства
Не всегда получается верно идентифицировать пятиугольник. Для этого математики предлагают признаки, которые применимы только к правильной фигуре. К ним можно отнести следующие:
Стороны равны между собой.
Любой угол правильного пятиугольника равен остальным его углам.
Следует отметить, что признаки справедливы для любого правильного многогранника. Пять осей симметрии имеет правильный пятиугольник (сколько сторон, столько и осей). Пентагон обладает некоторыми свойствами, которые будут очень полезны при решении задач. К ним можно отнести следующие:
Равенство сторон.
Углы равны по 108 градусов.
Центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
Сумма внутренних углов равна 180 * (5 – 2) = 540 (градусов), а внешних – 360.
Количество диагоналей соответствует 5.
Значение площади кольца, которое образуется между вписанным и описанным кругами, эквивалентно произведению квадрата длины стороны на константу Pi / 4.
Биссектрисы, проведенные через центр, равны.
Диагонали — трисектрисы внутренних углов. Одна диагональ делит его на 1/3 и 2/3 части.
Отношение диагонали к стороне эквивалентно «золотому сечению» и равно [1 + 5^(1/2)] / 2.
Другие восемнадцатиугольники фигуры
Звёздчатые 18
Может ли восьмиугольник иметь 6 прямых углов?
Так что восьмиугольник может иметь 6 прямых углов. Сумма углов = 1260 ′. Для многоугольника с n сторонами сумма внутренних углов = 180n — 360 градусов.
Тогда каков угол десятиугольника?
Все стороны имеют одинаковую длину (конгруэнтные) и все внутренние углы одинакового размера (конгруэнтные). Чтобы найти меру углов, мы знаем, что сумма всех углов равна 1440 степени (сверху) А углов десять Итак, угол правильного десятиугольника равен 144. степени.
Учитывая это, какова сумма внутренних углов многоугольника? Была основана сумма мер внутренние углы многоугольника с n сторонами равно (n — 2) 180.
Какова формула внутренних углов?
An внутренний угол находится в пределах многоугольника. Сумма всех внутренние углы можно найти с помощью формула S = (n — 2) * 180. Также возможно вычислить меру каждого угол если многоугольник правильный, путем деления суммы на количество сторон.
Как называется 3-сторонняя форма?
A 3–двусторонняя форма is под названием треугольник. Треугольники — это многоугольники с тремя сторонами, поэтому любые многоугольник с трех сторон под названием треугольник.
Сколько сторон у правильного многоугольника, если внутренний угол равен 165?
Вы знаете, что каждый из внутренние углы 165градусов, что дает вам половину вашего уравнения, 165 timesn или 165n. Во-вторых, установите внутренние углы равновнутренний угол формула (n-2) 180 = 165n. Разделить на 15, чтобыполучить N = 24 стороны до многоугольник.
Какая сумма углов в пятиугольнике?
Вот пятиугольник5-гранный многоугольник. Из вершины A мы можем провести две диагонали, которые разделяютпятиугольник на три треугольника. Умножаем 3 раза на 180 градусов, чтобы найти сумма всего интерьера углов OFA пятиугольник, что составляет 540 градусов.
Как найти угол многоугольника?
Обычный многоугольник представляет собой плоскую фигуру, все стороны которой равны, а углов все равны. В формула для обнаружение сумма проводить измерение интерьера углов равно (n — 2) * 180. Чтобы найти проводить измерение одного интерьера угол, мы принимаем это формула и разделите на количество сторон n: (n — 2) * 180 / n.
Как найти угол многоугольника?
Обычный многоугольник представляет собой плоскую фигуру, у которой все стороны равны и у которой углов все равны. В формуладля обнаружение сумма проводить измерение интерьерауглов равно (n — 2) * 180. К найдите что собой представляет проводить измерениеодного интерьера угол, мы принимаем это формула и разделим на количество сторон n: (n — 2) * 180 / n.
Каков угол поворота этого правильного восьмиугольника. Каков размер внутреннего угла?
| Правильный восьмиугольник | |
|---|---|
| Диаграмма Кокстера | |
| Группа симметрии | Двугранный (D8), заказ 2 × 8 |
| Внутренний угол (градусы) | 135° |
| Двойной полигон | Сам |
Какова формула внутренних углов?
A декагон имеет 10 сторон, поэтому его интерьеруглы складываются в 180 (10) — 360 = 1440 градусов. Поэтому в среднем каждый внутренний угол составляет 144 градуса и каждыйвнешний угол составляет 36 градусов. Сумма экстерьеруглы 10 x 36 = 360 градусов.
Какова сумма всех углов пятиугольника?
Вот пятиугольник5-гранный многоугольник. Из вершины A можно провести две диагонали, разделяющие пятиугольник на три треугольника. Умножаем 3 раза на 180 градусов, чтобы найти сумма всех интерьер углов в А пятиугольник, что составляет 540 градусов.
Как найти угол четырехугольника?
Добавьте два известных углов четырехугольник с новым угол. Например, если вашчетырехугольник имел углов 45, 40 и 115 градусов, вы получите сумму в 200 градусов (45 + 40 + 115 = 200). Вычтите сумму трех углов от 360, чтобы получить финалугол.
Как определить внешний угол треугольника?
- Внешний угол треугольника равен сумме противоположных внутренних углов. Подробнее об этом см. Теорема о внешнем угле треугольника.
- Если эквивалентный угол берется в каждой вершине, внешние углы всегда складываются в 360 °. Фактически, это верно для любого выпуклого многоугольника, а не только для треугольников.
Сколько градусов в круге?
Каков внешний угол пятиугольника?
Сколько градусов у 6-сторонней формы?
Какова сумма внутренних углов многоугольника?
Была основана сумма мер внутренние углы многоугольника с n сторонами равно (n — 2) 180. Мера каждого внутренний угол равноугольного n-угольника. Если считать один внешний вид угол в каждой вершине сумма мер экстерьера углы многоугольника всегда 360 °.
Какая сумма углов в шестиугольнике?
Как найти размер одного внешнего угла?
к найдите ценность данного внешний вид правильного многоугольника, просто разделите 360 на количество сторон или углов что есть у многоугольника. Например, у правильного многоугольника с правой стороны, восьмиугольника, есть внешние углыкоторые составляют 45 градусов каждый, потому что 360/8 = 45.
Какова сумма углов Нонагона?
Таким образом, сумма интерьера углов в А девятиугольник это 1260 градусов.
Что такое угол восьмиугольника?
An восьмиугольник имеет интерьер угол сумма 1,080 градусов. Все углов равны в регулярномвосьмиугольник, поэтому нам нужно разделить 1,080 на 8 углов: 1,080 / 8 = 135. Каждый угол в восьмиугольник измеряет 135 градусов.
Какова формула внутренних углов?
Была основана многоугольник с суммой внутренних углов 1080° — восьмиугольник, или многоугольник с 8 сторон.
Какова сумма Нонагона?
Чтобы найти меру внутренних углов, мы знаем, что сумма всех углов равна 900 градусов (сверху) А есть семь углов Итак, внутренний угол правильного семиугольника составляет примерно 128.57. степени.
Какой угол среза у восьмиугольника?
Установите торцовочную пилу на 22.5 градуса. Это угол тебе нужно вырезать чтобы сделать восьмиугольник форма. Порез один конец каждого куска лома 1 × 2 под углом 22.5 градуса угол.
Сколько углов у четырехугольника?
Сколько углов у четырехугольника?
An внутренний угол находится в пределах многоугольника. Сумма всех внутренние углы можно найти с помощью формула S = (n — 2) * 180. Также возможно вычислить меру каждого угол правильность многоугольника путем деления суммы на количество сторон.
Почему сумма внутренних углов многоугольника всегда кратна 180?
Если данный многоугольник является выпуклым, то от любых вершинных прямых к другим (несмежным) вершинам образуются треугольники, общая сумма которых сумма углов такой же, как сумма углов многоугольники так это кратный 180°, на самом деле 180° умноженное на количество треугольников.
Сколько сторон у многоугольника, если сумма его внутренних углов равна 720?
Что такое внешний угол многоугольника?
An внешний угол многоугольника есть уголв вершине многоугольник, вне многоугольник, образованный одной стороной и продолжением соседней стороны. Обратите внимание, что соответствующий интерьер и внешние углы являются дополнительными (прибавить до 180 °). Величина уголможно определить по количеству сторонмногоугольник.
Каков внешний угол семиугольника?
Сумма экстерьер углы любого многоугольника 360 градусов. Из этого факта мы можем сделать вывод, что еслисемиугольник(7-сторонний многоугольник) правильный, то всеэкстерьер углы совпадают и в результате составляют 360/7 или приблизительно 51.43 градуса.
Каков внутренний угол семиугольника?
Как вы прорабатываете внутренние и внешние углы?
Была основана формула для расчет размервнутренний угол это: внутренний угол многоугольника = сумма внутренние углы ÷ количество сторон. Суммавнешние углы полигона — 360 °. В формуладля расчет размер внешний угол это:внешний угол многоугольника = 360 ÷ количество сторон.
Что такое семиугольник в математике?
Чтобы найти меру внутренних углов, мы знаем, что сумма всех углов равна 900 градусов (сверху) А есть семь углов Итак, внутренний угол правильного семиугольника составляет примерно 128.57. степени.
Правильный восьмиугольник
Правильный восьмиугольник — геометрическая фигура из группы правильных многоугольников. У него восемь сторон и восемь углов, все углы и стороны равны между собой.
Правильный восьмиугольник имеет символ Шлефли <8>и может быть построен также как квазиправильный усечённый квадрат, t<4>, в котором перемежаются два типа граней. Усечённый восьмиугольник t <8>является шестнадцатиугольником t<16>.
1. Свойства
Восьмиугольник можно построить проведя к сторонам квадрата серединные перпендикуляры и соединив точки их пересечения с описанной окружностью квадрата с его сторонами.
Угол правильного восьмиугольника составляет 135 ∘
Сумма всех внутренних углов правильного восьмиугольника составляет 1080°
2. Формулы расчёта параметров правильного восьмиугольника
Пример:
k — константа, равная 1 + 2
R — радиус описанной окружности
S — площадь восьмиугольника
r — радиус вписанной окружности
t — длина стороны восьмиугольника
Так как правильный восьмиугольник можно получить соответствующим отсечением углов квадрата со стороной k t
Радиус вписанной окружности правильного восьмиугольника
r = k 2 t
Радиус описанной окружности правильного восьмиугольника
R = t k − 1
Площадь правильного восьмиугольника
Через сторону восьмиугольника
S = 2 k t 2 = 2 1 + 2 t 2 ≃ 4.828 t 2.
Через радиус описанной окружности
S = 4 sin π 4 R 2 = 2 R 2 ≃ 2.828 R 2.
Через апофему высоту
A = 8 tan π 8 r 2 = 8 2 − 1 r 2 ≃ 3.314 r 2.
4. Симметрия
Правильный восьмиугольник имеет группу симметрии Dih 8 порядка 16. Имеется 3 диэдральные подгруппы — Dih 4, Dih 2 и Dih 1, а также 4 циклические подгруппы — Z 8, Z 4, Z 2 и Z 1. Последняя подгруппа подразумевает отсутствие симметрии.
Правильный восьмиугольник имеет 11 различных симметрий. Джон Конвей обозначил полную симметрию как r16. Диэдральные симметрии делятся на симметрии, проходящие через вершины обозначены как d — от diagonal, или через рёбра обозначены как p — от perpendiculars. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g и для них указан порядок группы вращения. Полная симметрия правильного восьмиугольника обозначена как r16 а отсутствие — как a1.
На рисунке слева показаны типы симметрий восьмиугольников. Наиболее общие симметрии восьмиугольников — p8, равноугольный восьмиугольник, построенный четырьмя зеркалами и имеющий перемежающиеся длинные короткие стороны, и d8, изотоксальный восьмиугольник, имеющий рёбра равной длины, но вершины имеют два разных внутренних угла. Эти две формы являются двойственным друг другу и имеют порядок, равный половине симметрии правильного восьмиугольника.
Каждая подгруппа симметрии даёт одну или более степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g8 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как имеющая ориентированные рёбра.
5. Разрезание правильного восьмиугольника
Коксетер утверждает, что любой 2 m -угольник с параллельными противоположными сторонами можно разрезать на mm-1/2 ромбов. Для восьмиугольника m =4 и он разрезается на 6 ромбов, как показано на рисунке ниже. Это разрезание можно рассматривать как 6 из 24 граней проекции многоугольника Петри тессеракта.
6. Применение восьмиугольников
В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах в том числе в России, а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного восьмиугольника.
Восьмиугольные формы часто используются в архитектуре. Купол Скалы имеет восьмиугольный план. Башня Ветров в Афинах — ещё один пример восьмиугольной структуры. Восьмиугольный план встречается также в архитектуре церквей, таких как Собор Святого Георгия Аддис-Абеба, Сан-Витале в городе Равенна, Италия, Замок Кастель-дель-Монте Апулия, Италия, Флорентийский баптистерий и восьмиугольные церкви Норвегии. Центральное пространство в Ахенский собор, Капелла Карла Великого имеют планы в виде правильного восьмиугольника.
7. Производные фигуры Связанные многогранники
Восьмиугольник в качестве усечённого квадрата, является первым в последовательности усечённых гиперкубов:
Восьмиугольник в качестве растянутого квадрата является первым в последовательности растянутых гиперкубов:
ⓘ Энциклопедия | Правильный восьмиугольник — Вики ..
ⓘ Правильный восьмиугольник
Правильный восьмиугольник — геометрическая фигура из группы правильных многоугольников. У него восемь сторон и восемь углов, все углы и стороны равны между собой.
Правильный восьмиугольник имеет символ Шлефли <8>и может быть построен также как квазиправильный усечённый квадрат, t<4>, в котором перемежаются два типа граней. Усечённый восьмиугольник t <8>является шестнадцатиугольником t<16>.
1. Свойства
- Восьмиугольник можно построить проведя к сторонам квадрата серединные перпендикуляры и соединив точки их пересечения с описанной окружностью квадрата с его сторонами.
- Угол правильного восьмиугольника составляет 135 ∘
> - Сумма всех внутренних углов правильного восьмиугольника составляет 1080°
2. Формулы расчёта параметров правильного восьмиугольника
- k — константа, равная 1 + 2
>> ≈ 2.414213562373095 - R — радиус описанной окружности
- S — площадь восьмиугольника
- r — радиус вписанной окружности
- t — длина стороны восьмиугольника
Так как правильный восьмиугольник можно получить соответствующим отсечением углов квадрата со стороной k t
- Радиус вписанной окружности правильного восьмиугольника
r = k 2 t
- Радиус описанной окружности правильного восьмиугольника
R = t k − 1
- Площадь правильного восьмиугольника
Через сторону восьмиугольника
S = 2 k t 2 = 2 1 + 2 t 2 ≃ 4.828 t 2.
Через радиус описанной окружности
Через апофему высоту
3. Площадь через квадрат
Площадь можно также вычислить как усечение квадрата
где A — ширина восьмиугольника вторая меньшая диагональ, а a — длина его стороны. Это легко показать, если провести через противоположные стороны прямые, что даст квадрат. Легко показать, что угловые треугольники равнобедренные с основанием, равным a. Если их сложить как на рисунке, получится квадрат со стороной a.
Если задана сторона a, то длина A равна
Тогда площадь равна:
S = 1 + 2 a) 2 − a 2 = 2 1 + 2 a 2 ≈ 4.828 a 2.
Площадь через A ширину восьмиугольника
Ещё одна простая формула площади:
Часто значение A известно, в то время как величину стороны a следует найти, как, например, при отрезании от квадратного куска материала углов с целью получения правильного восьмиугольника. Из формул выше имеем
Два катета углового треугольника можно получить по формуле
4. Симметрия
Правильный восьмиугольник имеет группу симметрии Dih 8 порядка 16. Имеется 3 диэдральные подгруппы — Dih 4, Dih 2 и Dih 1, а также 4 циклические подгруппы — Z 8, Z 4, Z 2 и Z 1. Последняя подгруппа подразумевает отсутствие симметрии.
Правильный восьмиугольник имеет 11 различных симметрий. Джон Конвей обозначил полную симметрию как r16. Диэдральные симметрии делятся на симметрии, проходящие через вершины обозначены как d — от diagonal, или через рёбра обозначены как p — от perpendiculars. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g и для них указан порядок группы вращения. Полная симметрия правильного восьмиугольника обозначена как r16 а отсутствие — как a1.
На рисунке слева показаны типы симметрий восьмиугольников. Наиболее общие симметрии восьмиугольников — p8, равноугольный восьмиугольник, построенный четырьмя зеркалами и имеющий перемежающиеся длинные короткие стороны, и d8, изотоксальный восьмиугольник, имеющий рёбра равной длины, но вершины имеют два разных внутренних угла. Эти две формы являются двойственным друг другу и имеют порядок, равный половине симметрии правильного восьмиугольника.
Каждая подгруппа симметрии даёт одну или более степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g8 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как имеющая ориентированные рёбра.
5. Разрезание правильного восьмиугольника
Коксетер утверждает, что любой 2 m -угольник с параллельными противоположными сторонами можно разрезать на mm-1/2 ромбов. Для восьмиугольника m =4 и он разрезается на 6 ромбов, как показано на рисунке ниже. Это разрезание можно рассматривать как 6 из 24 граней проекции многоугольника Петри тессеракта.
6. Применение восьмиугольников
В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах в том числе в России, а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного восьмиугольника.
Восьмиугольные формы часто используются в архитектуре. Купол Скалы имеет восьмиугольный план. Башня Ветров в Афинах — ещё один пример восьмиугольной структуры. Восьмиугольный план встречается также в архитектуре церквей, таких как Собор Святого Георгия Аддис-Абеба, Сан-Витале в городе Равенна, Италия, Замок Кастель-дель-Монте Апулия, Италия, Флорентийский баптистерий и восьмиугольные церкви Норвегии. Центральное пространство в Ахенский собор, Капелла Карла Великого имеют планы в виде правильного восьмиугольника.
7. Производные фигуры
Связанные многогранники
Восьмиугольник в качестве усечённого квадрата, является первым в последовательности усечённых гиперкубов:
Восьмиугольник в качестве растянутого квадрата является первым в последовательности растянутых гиперкубов:
